bullet2 3.9 Distribución exponencial

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VII. 2.  Distribución Exponencial

La variable aleatoria exponencial, es el tiempo que transcurre hasta que se da el primer evento de Poisson. Es decir, la distribución exponencial puede modelar el lapso entre dos eventos consecutivos de Poisson que ocurren de manera independiente y a una frecuencia constante. Esta distribución se emplea con bastante frecuencia con objeto de modelar problemas del tipo "tiempo - falla" y como modelo para el estudio de intervalos en problemas de espera; por ejemplo, la duración de componentes electrónicos. Posteriormente se demostrará que la distribución exponencial no tiene memoria, es decir, la probabilidad  de ocurrencia de eventos presentes o futuros no depende de los que hayan ocurrido en el pasado. De esta forma, la probabilidad de que una unidad falle en un lapso específico depende nada más de la duración de éste y no del tiempo en que la unidad ha estado en operación.

VII. 2. 1.  Función de Densidad

Definición. Si una variable aleatoria X tiene una distribución exponencial, su función de densidad de probabilidades esta dada por:

Esta distribución se caracteriza por un parámetro q, que representa el lapso promedio de tiempo entre dos eventos independientes de Poisson. En el contexto de la Teoría de la Confiabilidad, q  recibe el nombre de tiempo promedio entre fallas, y 1/q es la frecuencia de falla. En ocasiones la distribución exponencial se define en términos del  parámetro l = 1/q .

Supongamos que un componente tiene la propiedad de que el tiempo transcurrido de operación no afecta la posibilidad del componente de funcionar al menos b unidades adicionales de tiempo.  Es decir, la probabilidad de que el componente funcione durante más de a + b unidades de tiempo, dado que ya operó durante por lo menos a unidades de tiempo, es igual a la probabilidad de que un componente nuevo funcione durante por lo menos b unidades de tiempo, si se pone en servicio el componente nuevo en el tiempo 0.

En el siguiente ejemplo se ve que la distribución exponencial representa un modelo para la duración de tal componente.

Ejemplo. Suponga que la variable aleatoria X tiene una f.d.p. exponencial. Demostrar que para los números a y b, con a > 0 y b > 0  P( X > a+b | X > a ) = P( X > b )

De la definición de probabilidad condicional y tomando en cuenta que la intersección de los eventos  { X > a+b } y { X > a } es igual al  evento { X > a+b }, tenemos que:

Evaluando estas probabilidades tenemos:

con lo cual se obtiene que:

Esta propiedad de la distribución exponencial se acostumbra llamarse Propiedad de pérdida  de memoria de la distribución.

VII. 2. 2.  Función de Distribución Acumulada

La función de distribución acumulada se obtiene en forma directa y está dada por:

También sabemos que P(X > x) = 1 - P(X £ x), de lo cual obtenemos:

VII. 2. 3. Valor Esperado y Variancia

El valor esperado y la variancia de esta distribución están dadas por:

Valor esperado:                        

Variancia                                

En problemas de la Teoría de la Confiabilidad, el interés recae en determinar el tiempo de vida promedio de un componente o de un sistema de estos.

El problema consiste en identificar la distribución de probabilidades de la variable aleatoria que proporcione de manera adecuada un modelo para el tiempo de falla. Una cantidad muy útil es la función de confiabilidad.

Definición. Sea T una variable aleatoria que representa el tiempo de vida de un sistema y sea f(t) la f.d.p. de la variable aleatoria T. La función de confiabilidad del sistema R(t) al tiempo t, es la probabilidad de que el lapso de duración del sistema sea mayor que un tiempo t dado. De acuerdo con esto:

R(t) = P(X > t) = 1-F(t)         para t > 0

Ejemplo. El tiempo de vida de un circuito obedece una ley exponencial, con parámetro l = 1/1000. Una compañía que produce estos circuitos desea garantizarlos por cierto tiempo. ¿Por cuántas horas se puede  garantizar su funcionamiento, de modo que la probabilidad de que el circuito funcione después del número de horas garantizadas sea del 95%?.

En este caso la f.d.p. está especificada por:

Sea a el número de horas por las que se garantiza el circuito. Entonces:

Resolviendo para a se obtiene:

Ejemplo. Supóngase que una variable aleatoria X se distribuye uniformemente en [0, 2] y que otra variable aleatoria Y se distribuye en forma exponencial con parámetro l. Encontrar el valor del parámetro, de tal manera que  P(x < 1 ) = P(y < 1 ).

La f.d.p. de la v. a. X está dada por:

La f.d.p. de la variable aleatoria Y está dada por:

Evaluando estas probabilidades tenemos:

Por lo tanto:     .  Resolviendo para l se tiene:

Ejemplo. Suponga que una v. a. X se distribuye uniformemente en el intervalo [-1, 3] y que otra v.a. Y se distribuye exponencialmente con parámetro l

Encuentre el valor del parámetro l de forma que Var(X) = Var(Y).

Sabemos que las variancias de estas distribuciones son, respectivamente:

Igualando las expresiones anteriores y resolviendo para l se tiene: