bullet2 1.9 Ejemplos de modelos de simulación.

 

Ejemplo 1.-Simulación del lanzamiento de un dado legal.

Presentamos a continuación, el esquema general de la simulación, mediante la simulación del experimento consistente en el lanzamiento de un dado legal, registrando el número de puntos que aparece en su cara superior después del lanzamiento.

Utilizando los conceptos vistos previamente en este capítulo, los componentes o entidades son el dado mismo y el lanzador. El estado del sistema lo determina en este caso el estado del dado el cual puede estar en reposo o en lanzamiento. La actividad consiste en el lanzamiento del dado. La variable endógena es el generador o lanzador, mientras que la variable exógena o de salida es la variable aleatoria que representa la cantidad de puntos que muestra el dado y su función de probabilidad es la uniforme discreta con parámetro valor medio igual a 1/6. Aquí podemos decir que el reloj simulador se incrementará en una unidad cada vez que se efectúe un lanzamiento. El dado inicialmente se encuentra en reposo y es irrelevante la cantidad de puntos que actualmente muestra. Nos interesará analizar los datos simulados, calcular el valor promedio y su varianza; también podremos construir un histograma de frecuencias relativas y efectuar una prueba de bondad de ajuste.

La variable aleatoria es:
X = (1,2,3,4,5,6)
Podemos proponer las siguientes alternativas de solución:

1) Haciendo uso de una tómbola.

Elaboramos 6 “papelitos” idénticos numerados del 1 al 6, los introducimos en una tómbola. Damos vueltas a la tómbola y extraemos un papelito a la vez, se observa el número del papelito. Ése número, nos indicará la cantidad de puntos que mues tra el dado en su cara superior.
Este propiamente es un ejemplo de simulación por analogía.

2) Haciendo uso de los números aleatorios disponibles en una calculadora o en una tabla como la que se encuentra en el anexo de este libro.
En este texto representaremos a los números aleatorios uniformes, es decir, que se distribuyen según la función de probabilidad uniforme continua en el intervalo (0,1); por RND (también se les representa por r o U). Podemos proceder de dos maneras:

a) Obtener un número aleatorio de una calculadora científica y considerarlo sólo al nivel de un dígito (decimal). Si el número es alguno de 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5 ó 0.6, consideraremos que el número de puntos mostrados por el dado es 1, 2, 3, 4, 5, ó 6. respectivamente. En caso contrario, ignoramos el número aleatorio y obtenemos otro. Así hasta que decidamos terminar la simulación del experimento.

b) Obtener un número aleatorio. Emplear la ecuación

X = INT(6*RND) + 1

D onde:
RND
es el número aleatorio obtenido en la calculadora
INT es la operación que indica tomar sólo la parte entera del operando
X es el número simulado de puntos mostrados por el dado (virtual).

A continuación simulamos una muestra o “efectuamos” cinco lanzamientos:

Lanzamiento
RND
RN*6
INT(RND*6)
INT(RND*6)+1
1
0.090
0.540
0
1
2
0.592
3.55
3
4
3
0.167
1.002
1
2
4
0.301
1.806
1
2
5
0.710
4.260
4
5

Los puntos que muestra el dado simulado aparecen en la última columna.

3) Ahora aplicaremos el método Monte Carlo al problema del lanzamiento del dado:
Haciendo uso de la función de distribución de probabilidad (f.d.p.) del experimento. Como el dado se ha supuesto legal, tenemos


f(x) = 1/6 para toda x ? X.

su gráfica aparece a continuación:

ahora podemos construir la función de distribución acumulada F(x)

x
1
2
3
4
5
6
F(x)
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
6/6

cuya gráfica es:

Con la distribución acumulada, podemos establecer el siguiente criterio: obtener un número aleatorio RND y si:


0 < RND <= 1/6, entonces, X=1 (punto)
1/6 < RND <= 2/6, “ , X=2 (puntos)
2/6 < RND <= 3/6, “ , X=3 “
3/6 < RND <= 4/6, “ , X=4 “
4/6 < RND <= 5/6, “ , X=5 “
5/6< RND <= 6/6, “ , X=6 “

 

por ejemplo, si el número aleatorio obtenido en la calculadora RND es 0.592, observamos que
se encuentra en el intervalo (3/6, 4/6) = (0.500, 0.667), lo que nos indica que el dado muestra
X=4 puntos. A la tabla anterior se le llama transformación inversa. Gráficamente:

Se le deja como ejercicio al estudiante que efectúe para este ejemplo una corrida de tamaño cien, obtenga los valores promedio y varianza de la muestra. Así mismo, haga un histograma de frecuencias relativas.