bullet31.2.2 Principios de multiplicación

 

 

Si una operación se puede efectuar de n1 maneras y para cada una de ellas se puede efectuar una segunda operación de n2 maneras y así sucesivamente hasta la operación nr, entonces el número de maneras en que el proceso puede realizarse será el producto

 

n1 n2...nr.

 

El principio de multiplicación se puede representar gráficamente mediante el diagrama del árbol en la forma siguiente:

 

 

 

 

Ejemplo 2. 1. Dos viajeros llegan a una ciudad en la que hay 3 hoteles ¿De cuántas maneras pueden hospedarse si cada uno debe estar en un hotel diferente?

 

Solución.

 

El primer viajero puede seleccionar cualquiera de los 3 hoteles y el segundo viajero tendrá 2 hoteles para escoger, ya que debe de estar en uno diferente, por lo que el número de formas en que pueden hospedarse los 2 viajeros en los 3 hoteles será (3) (2) = 6.

 

Si deseamos resolver este problema mediante el diagrama del árbol, representamos los hoteles como H1, H2 y H3. Entonces tendremos:

 

 

 

 

Si seguimos todos los caminos posibles desde el origen hasta cada una de las terminales, tendremos las formas en que los viajeros pueden hospedarse y que en este caso son seis (H1H2, H1H3, H2H1, H2H3, H3H1, H3H2).

 

Ejemplo 2. 2. Hay 10 aviones que vuelan entre las ciudades de México y Monterrey ¿De cuántas maneras puede ir una persona de México a Monterrey y regresar en un avión diferente?

 

Solución

 

El viaje de México a Monterrey se puede hacer en cualquiera de los 10 aviones, pero el de Monterrey a México sólo se puede hacer en uno de los 9 aviones restantes, por lo que habrá   (10)(9) = 90 formas de realizar el viaje redondo.

 

También se tiene el caso en que cada una de las operaciones puede realizarse en un mismo número de formas posibles, por lo que n1 = n2 = nr = n. Aplicando el principio de multiplicación tenemos:

 

 

Ejemplo 2. 3. Si se lanza un dado legal 4 veces ¿Cuántos resultados puede haber?

 

Solución

 

Cada vez que se lance un dado puede haber 6 resultados posibles, por lo que al lanzarlo 4 veces habrá:

 

(6)(6)(6)(6) = 64 = 1,296 resultados

 

Estas condiciones también se presentan cundo se tienen n elementos diferentes y es necesario seleccionar, de uno en uno, r elementos con sustitución. Aquí, cuando se selecciona un elemento luego se regresa a su lugar de origen antes de seleccionar el siguiente elemento, con lo que se restablecen las condiciones originales. Así, habrá n formas diferentes de seleccionar el primer elemento, n formas de seleccionar el segundo y así para cada uno de los demás elementos hasta llegar al elemento r, por lo que el número total de formas de seleccionar los elementos será

 

nr

 

Ejemplo 2. 4. Si se tiene una caja con 5 tornillos de diferente longitud y se extraen 3 tornillos de uno en uno con sustitución ¿Cuántas formas hay de seleccionar los tornillos?.

 

Solución

 

Cada tornillo puede seleccionarse de 5 formas en cada ocasión y como la operación se repite 3 veces, habrá (5)(5)(5) = 53 = 125  formas de seleccionar los tornillos.

 

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