1.5.2. Método gráfico para resolver modelos de programación lineal con solo dos variables.

En esta sección interesa hacer análogos geométricos, esto es, gráficas de funciones lineales que contiene el modelo matemático de programación lineal obtenido en la formulación del problema que se analiza. Dicho modelo puede contener expresiones tanto en forma de ecuaciones ( = ) como en desigualdades ( <= ó >= ), cada una de ellas corresponde a un gráfico en la analogía geométrica.

Primero considere la infinidad de puntos que constituyen en conjunto el plano y los cuatro cuadrantes convencionalmente aceptados, para dividirlo en zonas caracterizadas por la combinación de signo que se puede dar, a los valores medidos con números reales. Para lograr los cuadrantes en el plano se utilizan los ejes cartesianos con escala de medición de valores de las variables del problema; por ejemplo, se puede asignar el eje horizontal de abscisas para la medición de valores de la variable X1; también se puede asignar el eje vertical de ordenadas, para la medición de valores de la variable X2. La localización de cualquier punto en este espacio plano requiere de una distancia horizontal (X1) y de una distancia vertical (X2) denotado como par ordenado o vector (X1, X2). Un punto sobre el eje X1 corresponde a X2=0 y un punto sobre el eje X2 corresponde a X1=0, que son las ecuaciones respectivas de los ejes horizontal y vertical. Dichos ejes se cruzan en el punto (X1, X2) = (0, 0), el cual se conoce como origen.

Si la ecuación tiene sólo dos variables, el gráfico de la misma sobre el plano es una línea recta, es decir, se requiere un espacio de dos dimensiones, la horizontal y la vertical, para graficar tal ecuación; pero la representación geométrica de una ecuación en tres variables, requiere un espacio de tres dimensiones. En tal caso, a los ejes X1 y X2, se les agrega un tercer eje X3 como tercera dimensión, que pasa por el origen hacia el observador. Los gráficos de la Figura 1-13 y Figura 1-14 muestran lo anterior para una ecuación cualquiera:

Figura 1-13. Gráfico de una ecuación en dos dimensiones.

Figura 1-14. Gráfico de una ecuación en tres dimensiones.

El método gráfico proporciona la oportunidad de visualizar algunos de los conceptos importantes de la programación lineal. Pero tiene una gran limitación referente, a que sólo es posible aplicarlo en problemas muy pequeños; para este curso se limita el método gráfico aplicado a problemas con sólo dos variables. El método gráfico para resolver problemas que se han modelado con programación lineal consiste en asignar un eje cartesiano para cada una de las dos variables involucradas; de esta manera se asigna, por ejemplo, el eje horizontal como escala para los distintos valores que pueda tener la variable X1; también se puede asignar el eje vertical con su respectiva escala para ubicar los distintos valores que puede tomar la variable X2. Un sistema con dos ejes cartesianos, horizontal y vertical, permite representar en un espacio plano las líneas rectas que geométricamente hablando representan cada expresión matemática lineal con sólo dos variables. Las restricciones y condiciones de signo del problema, representan al sistema que debe graficarse en un plano y después se valora en el mismo la función económica Z, con la cual se busca un punto del sistema que maximice o bien minimice su valor.

Para mejor comprensión del método gráfico de solución de problemas modelados con programación lineal, se presenta el siguiente ejemplo que se detalla lo suficiente para el voluntarioso estudiante de esta técnica poderosa en su aplicación. Posteriormente se presentan otros ejemplos con el propósito de profundizar en la enseñanza e intentar mayor avance en el aprendizaje.

Ejemplo 1-12. Problema de combinar producción para máxima utilidad (QUIMCAR) [AND93].

QUIMCAR es una empresa que elabora varios productos químicos. En un proceso de producción en particular se utilizan tres recursos como materia prima de dos productos: una cera automotriz y una pasta pulidora, que se usan en la pintura de la carrocería a vehículos automotores y se distribuye para su venta al menudeo a varias empresas distribuidoras. Para producir la cera y la pasta se utilizan tres recursos, según se muestra en la siguiente tabla, en la cual se observa que una tonelada de cera es una mezcla de 2/5 de tonelada del recurso 1 y 3/5 de tonelada del 3. Por otro lado, una tonelada de pasta es la mezcla de 1/2, 1/5 y 3/10 de tonelada de los recursos 1,2 y 3, respectivamente.

La producción de la cera automotriz y la pasta pulidora está restringida a la disponibilidad de los tres recursos. Para el periodo de producción anual, se tienen disponibles las cantidades siguientes de cada una de las materias primas.

Figura 1-15. Recursos disponibles para la producción en ejemplo QUIMCAR.

Figura 1-16. Material requerido para cera y pasta pulidora en ejemplo QUIMCAR.

El departamento de contabilidad ha analizado las cifras de producción, asignando los costos correspondientes para ambos productos, llegó a precios que resultan en una contribución a la utilidad de 400 dólares por cada tonelada de cera automotriz y de 300 dólares por cada tonelada de pasta pulidora, producidas. La administración, después de analizar la demanda potencial, ha concluido que los precios establecidos aseguran la venta de toda la cera y pasta que se produzca.

El problema es determinar: 1º.-Un conjunto de expresiones matemáticas o modelo, representando el objetivo y restricciones del problema descrito. 2º.- Resolver en forma gráfica y determinar cuántas toneladas de cera y pasta debe producir la empresa para maximizar la contribución total a la utilidad.

Definición de las variables y función objetivo

Como ya se apuntó anteriormente, los problemas de programación lineal tienen un objetivo ya sea de máximo o bien de mínimo. En este problema, el objetivo es de maximizar la contribución a la utilidad y se plantea en forma matemática introduciendo alguna forma simple de notación, como sigue:

1a. Parte.-Definición de variables.-

Es importante precisar la unidad de medida:

2a. parte.- Función objetivo.-

La contribución a la utilidad se origina de: (1) la que proviene de la producción de X1 toneladas de cera automotriz, y (2) la que proviene de la producción de X2 toneladas de pasta pulidora. Dado que se gana 400 dólares por cada tonelada de cera producida, la empresa gana $400 X1 si se producen X1 toneladas de cera. También, en vista de que se gana 300 dólares por cada tonelada de pasta producida, la empresa gana $300 X2 si se producen X2 toneladas de pasta. Identificando con Z la contribución total a la utilidad y eliminando el signo de dólares se tiene:

El problema es encontrar la combinación de producción que maximice la contribución total a la utilidad. Esto es, se deben determinar los valores para X1 y X2 que den el valor más elevado posible de Z. En terminología de programación lineal, se nombran a X1 y a X2 como las variables de decisión. Dado que el objetivo de maximizar la utilidad es una función de éstas, entonces se dice que Z = 400 X1 + 300 X2 es la función objetivo, que también se puede escribir abreviando los coeficientes a unidades que significan cientos de dólares por tonelada producida, como sigue:

Cualquier combinación de producción de cera y pasta se conoce como una solución al problema. Sin embargo, únicamente aquellas soluciones que satisfagan todas las restricciones se conocen como soluciones factibles o posibles. La combinación específica de producción factible, que resulte en la contribución mayor a la utilidad, se conoce como la combinación de producción óptima, o simplemente, la solución óptima. Pero primero se requiere conocer todas las restricciones del problema y posteriormente se muestra un método para definir gráficamente, en el plano de dibujo, el espacio en que se ubican el conjunto de puntos de solución factible.

3a. Parte.- Restricciones de materia prima.

La cantidad de materia prima disponible, condiciona o sujeta el valor de la función objetivo para cumplirse con los tres recursos limitados, calculando las posibles soluciones en las cantidades de cera y pasta que se pueden producir. Según la información de producción (vea la tabla), se sabe que cada tonelada de cera automotriz utiliza 2/5 toneladas del recurso 1, por lo que el total de toneladas del mismo utilizado en la producción de X1 toneladas de cera es 2/5X1; además, cada tonelada de pasta usa 1/2 tonelada del recurso 1, como resultado, X2 toneladas de pasta usan 1/2 X2 toneladas de recurso 1, entonces el consumo total de toneladas de recurso 1 para producir X1 de cera y X2 de pasta está dado por

Debido a que se tiene un máximo de 20 toneladas de materia prima 1 disponible, la combinación de producción a decidir debe satisfacer la restricción

La relación anterior es una desigualdad que anota las contribuciones al consumo de recurso 1, utilizadas en la producción de X1 toneladas de cera y de X2 toneladas de pasta, que debe ser menos que o igual a 20 toneladas disponibles.

La tabla indica que el recurso 2 no es requerido por la cera, pero si por la pasta pues cada tonelada producida de ésta requiere 1/5 tonelada de las 5 disponibles, se expresa así:

Si desea, ahora verifique por sí mismo que la restricción para la materia prima 3 es

Hasta aquí se han definido, las restricciones de materia prima; sólo falta establecer que las toneladas de cera y pasta no puede ser un número negativo.

4a parte.- Condiciones de valor no negativo para las variables:

Esto asegura valores no negativos de las variables de decisión como solución al problema presente, se conocen como restricciones de no negatividad y son una característica general de los problemas de programación lineal.

Modelo matemático del problema de Quimcar.

La formulación matemática o modelo simbólico, representa en forma abstracta, el objetivo y las restricciones del problema, trasladados del mundo real a un conjunto de relaciones matemáticas. El modelo completo del problema es:

Ahora sólo falta encontrar la combinación de productos cera y pasta expresados como toneladas de X1 y X2 que satisface todas las restricciones y también resulte en un valor máximo de la función objetivo, comparado con el valor de cualquier otra solución factible, lo que significa la solución óptima del problema.

Este modelo matemático del problema es programación lineal, tiene una función objetivo y restricciones, todas con la característica especial de que son una función lineal de las variables de decisión.

Las funciones matemáticas en las cuales sólo una de las variables aparece elevada a la primera potencia como un término independiente, se conocen como funciones lineales. La función objetivo 4X1 + 3X2 es lineal, porque cada una de las variables de decisión aparece en un término por separado con exponente 1. Si la función objetivo se presentara como 4X21 + 3X32, no se trataría de una función lineal. Por la misma razón, el número de toneladas de la materia prima 1 requerida, 2/5X1+1/2X2 , también es una función lineal de las variables de decisión. Similarmente, el lado izquierdo de todas las desigualdades de restricción son funciones lineales, así la formulación matemática del problema anterior se identifica como un programa lineal.

Solución gráfica

Un problema de programación lineal con sólo dos variables de decisión se puede resolver de manera gráfica sobre el espacio plano. Se inicia este procedimiento de solución desarrollando una gráfica que despliegue las posibles soluciones (valores X1 y X2) para el problema QUIMCAR. En la Figura 1-17 aparecen los valores de X1 sobre un eje horizontal y los valores de X2 sobre uno vertical. De esta manera se divide el plano o papel de trabajo, en cuatro espacios limitados por los ejes, formando así los cuadrantes 1, 2, 3 y 4. Cualquier punto de la gráfica puede quedar identificado por un par de valores X1 y X2, que representa la posición del punto con respecto de los ejes X1 y X2. Cada par (X1, X2) corresponde a un punto solución de esta manera se tendría una infinidad de ellos en el plano considerado. Pero para la solución particular en la que X1 = 0 y X2 = 0, se ubica un punto vértice identificado como origen para ambos ejes.

Figura 1-17. Algunos puntos solución para el problema QUIMCAR.

El siguiente paso es mostrar, qué puntos corresponden a soluciones factibles del programa lineal. Tanto X1 como X2 deben ser de valor no negativo, por lo que sólo es necesario considerar la porción de la gráfica en donde X1 >= 0 y X2 >= 0, lo que se conoce como primer cuadrante. En la Figura 1-18 las flechas indican el primer cuadrante, o sea, la región donde estos requisitos de no negatividad quedan satisfechos para la solución buscada.

Figura 1-18. Gráfica del primer cuadrante. Cumple las restricciones de no negatividad ( >= 0 ).

Anteriormente se determinó la desigualdad que representa la restricción para la materia prima 1 es:

Para mostrar todos los puntos solución que la satisfacen, se traza la línea que geométricamente representa a la ecuación lineal: 2/5X1 + 1/2X2, = 20 la cual debe ser recta, se calculan dos puntos pertenecientes a la misma y a continuación se traza una línea recta a través de los mismos. Para ello, arbitrariamente se buscan los puntos sobre los ejes en que, por supuesto, se tiene el valor de cero para una de las variables, así al hacer X1 = 0, se ubica sobre el eje X2 y resolviendo la ecuación en función de la variable X2, queda ½ X2 = 20, o también X2 = 40; por lo tanto el punto (X1=0, X2=40) satisface la ecuación anterior, pues es la intersección de las rectas, eje X2 y la que representa el recurso 1; alternativamente, para encontrar un segundo punto que satisfaga esta ecuación se hace X2 = 0 y se resuelve en función de X1. Al hacerlo se observa que 2/5X1 = 20, es decir, X1 =50, por lo que un segundo punto que también satisface la ecuación es (X1=50, X2=0). Con estos dos puntos, se puede trazar la recta que se conoce como línea de restricción de la materia prima 1, mostrada en la Figura 1-19

Figura 1-19. La línea recta de restricción de la materia prima 1, ejemplo QUIMCAR.

La desigualdad que representa a la restricción de la materia prima 1 es:

¿Puede usted identificar las soluciones que satisfacen esta restricción?. Observe primero, que cualquiera de la infinidad de puntos que forman la línea recta de restricción 2/5X1 + 1/2X2, = 20 debe satisfacer a la misma; pero ¿dónde están los puntos solución que satisfacen la desigualdad: 2/5X1 + 1/2X2 < 20?. Ahora considere dos puntos de solución (X1 =10, X2 =10) y (X1 =40, X2 =30). La Figura 1-19muestra que la primera solución se ubica por debajo de la línea de restricción y la segunda queda por encima, entonces ¿cuál de estas soluciones satisface la restricción del recurso 1? Para el punto (X1 =10, X2 =10), se tiene:

Dado que 9 es menor que 20 toneladas de materia prima 1 disponible, la combinación o solución, de productos X1=10 toneladas de cera automotriz, X2=10 toneladas de pasta pulidora satisface la restricción del recurso 1, en este caso se califica a (10,10) como una solución factible. Por otro lado, para X1 =40 y X2 =30 se tiene:

31 es mayor que las 20 toneladas disponibles de recurso 1, por lo que la solución X1 = 40 toneladas de cera, X2 = 30 toneladas de pasta, no satisface la restricción, y por lo tanto la solución (40,30) no es factible.

Si una solución particular no es factible, todas las demás soluciones del mismo lado de la línea recta de restricción tampoco lo serán. Si una solución particular es factible, todas las demás soluciones del mismo lado de la línea de restricción serán factibles, por lo que solamente es necesario evaluar un punto de solución para determinar cuál es el lado de la línea de restricción que representa las soluciones factibles. En la Figura 1-20 , el área factible con todos los puntos que satisfacen la restricción de la materia prima 1 se muestra sombreada.

Figura 1-20. Región factible para la restricción de la materia prima 1, ejemplo QUIMCAR.

¿Se siente capaz de trazar una línea de restricción y localizar los puntos de solución que son factibles?. Si así lo desea intente resolver la restricción 2.

Para el caso que necesite más instrucción, a continuación se muestra la identificación de los puntos de solución que satisfacen la restricción de la materia prima 2:

Se empieza dibujando la línea de restricción correspondiente a la ecuación 1/5 X2 = 5, que es equivalente a X2 = 25, simplemente se dibuja una línea cuyo valor X2 es 25, está línea es paralela a X1 y está a 25 unidades por encima del eje horizontal. En la Figura 1-21 se dibuja la línea recta que corresponde a la restricción de la materia prima 2, la región sombreada corresponde a todas las combinaciones de producción que son soluciones factibles para la restricción de la materia prima 2.

Figura 1-21. Región factible de la restricción de materia prima 2, ejemplo QUIMCAR.

De manera similar, se puede diferenciar el conjunto de todas las soluciones factibles para la restricción de la materia prima 3. La Figura 1-22 muestra la zona de puntos factibles. Como ejercicio práctico, pruebe trazar la región factible de la restricción de la materia prima 3 y verifíquelo con este gráfico.

Figura 1-22. Región factible para la restricción de la materia prima 3, ejemplo QUIMCAR.

Ahora se tienen tres gráficas por separado que muestran las soluciones factibles para cada una de las restricciones. En un problema de programación lineal, se necesita identificar las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones. Las gráficas de las Figura 1-20, Figura 1-21 y Figura 1-22 se pueden superponer para obtener una intersección gráfica de las tres restricciones. La Figura 1-23muestra esta gráfica de restricciones combinadas. La región sombreada de esta figura incluye todos los puntos solución que simultáneamente, satisfacen todas las restricciones. Las soluciones que satisfacen simultáneamente todas las restricciones del sistema se conocen como factibles, la parte sombreada se conoce como la región de soluciones factibles, o simplemente región factible. Cualquier punto en las fronteras de la región factible, o bien en su interior, es un punto de solución factible. Ahora que se ha identificado la región factible, se puede seguir adelante con el método de solución gráfica y determinar cuál es la solución óptima para el problema de QUIMCAR. Recuerde que la solución óptima para un problema de programación lineal es la solución factible que aporte el mejor valor de la función objetivo.

Figura 1-23. Región de soluciones factibles del problema ejemplo QUIMCAR.

Se inicia el paso de optimización del procedimiento de solución gráfica volviendo a dibujar la región factible en una gráfica por separado. La Figura 1-24 muestra dicha gráfica.

El procedimiento para determinar la solución óptima evaluando la función objetivo para cada una de las soluciones factibles, no es posible pues hay demasiadas, (de hecho, una infinidad). Por lo tanto, para identificar la solución óptima no se debe utilizar un procedimiento de ensayo y error. En vez de intentar calcular la contribución a la utilidad de cada solución factible, se selecciona un valor arbitrario de la contribución a la utilidad y se identifican todas las soluciones factibles (X1, X2) que dan el valor seleccionado.

Figura 1-24. Región factible del problema ejemplo QUIMCAR.

Por ejemplo, ¿qué soluciones factibles dan una contribución a la utilidad de 2400 dólares? Estas soluciones se dan por los valores de X1 y X2 de la región factible que cumplan con la siguiente función objetivo que se puede simplificar para obviar cálculos, así:

Ésta expresión es simplemente la ecuación de una línea recta, por lo que todas las soluciones factibles (X1, X2), con una contribución a la utilidad de 24 dólares deben estar en esta línea. Ya se aprendió como trazar una línea de restricción; el procedimiento para trazar la línea de la función objetivo o de utilidad es el mismo. Haciendo X1=0, se tiene que X2 debe ser 8; entonces, el punto de solución (X1=0, X2=8) está en la recta. Similarmente, haciendo X2 = 0, se tiene que el punto de solución (X1=6, X2 = 0), también está en la recta. Dibujando la línea recta por estos puntos, se identifican todas las soluciones que tienen una contribución a la utilidad de 24; una gráfica de esta línea de utilidad se presenta en la Figura 1-25 que muestra un número infinito de combinaciones factibles de producción que darán una contribución de 24 a la utilidad.

Utilizando el procedimiento anterior para el trazado de rectas de utilidad y de restricción, se trazan la línea de utilidad de 72 y 120 que se presentan en la misma Figura 1-25. Por supuesto, sólo los puntos de las rectas de valor 24, 72 y 120 que están dentro de la región factible, deben considerarse como soluciones factibles para tal contribución de utilidad.

Figura 1-25. Diferentes líneas de utilidad para el problema ejemplo QUIMCAR

Dado que las rectas de utilidad son paralelas y de valor creciente conforme se alejan del origen, se pueden obtener valores mayores para la función objetivo, continuando el movimiento hacia fuera del conjunto factible pero manteniéndose adentro del mismo, hasta alcanzar el (los) último(s) punto(s) vértice antes de salir. Dado que los puntos fuera de la región factible no son aceptables, el (los) punto(s) vértice en la región factible que coincide(n) con la recta de utilidad mayor es una solución óptima al programa lineal.

El estudiante debe identificar ahora, el punto de solución óptimo para el problema ejemplo QUIMCAR. Utilice una regla y escuadra, mueva paralelamente la recta de utilidad tan lejos del origen como pueda, pero conservando el contacto en la zona factible. ¿Cuál es el último punto de la región factible? Este punto debe ser vértice y corresponde a la solución óptima, vea el gráfico de la Figura 1-26. Los valores óptimos para las variables de decisión son ( X1, X2) = ( 25, 20 ).

Figura 1-26. Solución óptima para el problema ejemplo QUIMCAR.

Dependiendo del tamaño y claridad de su gráfica, se determinan los valores óptimos exactos de X1 y X2 leyendo directamente de la gráfica. Pero observe en la Figura 1-23, la solución óptima del ejemplo está en la intersección de las rectas de restricción 1 y 3 que se pueden resolver para precisar los valores coordenados.

Por lo que los valores de las variables de decisión X1 y X2 deberán satisfacer las ecuaciones de manera simultánea. Resolviendo en función de X1 en (1)

Sustituyendo esta expresión (4) de X1 en la ecuación (3) y resolviendo en función de X2 se obtiene

Sustituyendo X2 =20 en la ecuación (4) y resolviendo en función de X1, resulta

A pesar de que la solución óptima para el problema está formada de valores enteros de las variables de decisión, esto no será siempre el caso. La localización exacta del punto de solución óptima es X1 =25 y X2 =20. Este punto identifica las cantidades óptimas de producción para QUIMCAR en 25 toneladas de cera automotriz y 20 toneladas de pasta pulidora, con una contribución a la utilidad de:

Así, en un problema de programación lineal con dos variables de decisión, se puede determinar el valor exacto de las variables de la solución óptima, utilizando primero el método gráfico para identificar el punto que optimiza y después resolviendo simultáneamente las dos ecuaciones que generan el mismo.

Trazo de líneas rectas

Un aspecto importante del método gráfico es la posibilidad de trazar líneas rectas representando las restricciones y la función objetivo del programa lineal. El procedimiento más sencillo para trazar la recta de una ecuación, es encontrando dos puntos cualesquiera que la satisfagan y a continuación trazando la recta a través de dichos puntos. En el caso de la línea recta de restricción de la materia prima 1 del problema QUIMCAR

se identifican los dos puntos (X1 = 0, X2 = 40) y (X1 = 50, X2 = 0). Después se traza la línea recta de restricción de la materia prima 1 a través de estos dos puntos.

Cuando en la ecuación de restricción sólo aparece una variable, como es el caso de la materia prima 2 del problema (1/5 X2 <= 5), se resuelve en función de la única variable que aparece en la ecuación (para esta restricción, X2 =25); es claro que en tal ecuación X1 = 0 pues no está presente, así (X1 =0, X2 =25) representa el punto en el eje X2 por donde debe pasar una recta paralela al eje X1.

Todas las rectas de restricción y de funciones objetivo en los programas lineales de dos variables, se pueden trazar si se pueden identificar los puntos de la línea. Sin embargo, determinar dichos puntos no siempre es tan fácil como resultó en el problema QUIMCAR. Por ejemplo, considere la restricción:

Usando la forma de igualdad y haciendo X1 = 0, se tiene que el punto (X1 = 0, X2 = -100) pertenece a la recta de restricción. Si X2=0, se tiene el segundo punto (X1 = 50, X2 = 0) sobre la misma recta de restricción. Si se ha dibujado sólo la porción no negativa (X1 >= 0, X2 >= 0) correspondiente al primer cuadrante de la gráfica, entonces no se puede fijar el primer punto (X1 = 0, X2 = -100), porque no hay escala para valores negativos en la gráfica tal como es X2 = -100. Siempre que se tengan dos puntos de la recta, con uno o ambos valores negativos, el procedimiento gráfico obligado es incluir la escala negativa a los dos ejes coordenados horizontal y vertical, incluyendo los cuadrantes necesarios. En este ejemplo, se puede localizar el punto (X1 = 0, X2 = -100) extendiendo hacia abajo el eje vertical para incluir los valores negativos de X2. Una vez localizados los dos puntos que satisfacen la ecuación y el conjunto de soluciones factibles para la nueva restricción de ejemplo 2X2 - 1X2 <= 100, entonces se procede a su trazo, según se ve en la siguiente figura: .

Figura 1-27. Soluciones factibles de la restricción 2X1-1X2 <= 100

Considere ahora la restricción: 1X1 - 1X2 >= 0 mostrada en la Figura 1-28. El lado derecho con valor cero en esta desigualdad, identifica una línea recta que contiene o pasa por el punto vértice conocido como origen. Para determinar las soluciones que satisfacen la restricción como igualdad, primero se hace X1 = 0 y se resuelve en función de X2. El resultado muestra que el origen (X1= 0, X2 = 0) está en la recta de restricción. Al hacer X2 = 0 y al resolver para X1, resulta en el mismo punto. Pero se puede obtener otro punto de la recta, al dar a X2 un valor cualquiera distinto de cero y entonces resolver en función de X1. Por ejemplo, haciendo que X2 = 100 y resolviendo en función de X1, se encuentra que el punto (X1 = 100, X2 = 100) también pertenece a la recta. En ambos puntos (X1=0, X2= 0) y (X1 = 100, X2 = 100) se puede trazar la línea de restricción 1X1-1X2 = 0 y pueden determinarse las soluciones factibles para 1X1 - 1X2 >= 0.

Figura 1-28. Soluciones factibles de la restricción 1X1 - 1X2 >= 0

Resumen del método de solución gráfica en dos variables.

  1. Dibuje en un sistema de dos ejes cartesianos (por ejemplo X1 para la coordenada horizontal y X2 para la coordenada vertical) las líneas rectas correspondientes a cada una de las expresiones lineales del modelo de programación lineal, identificando las mismas, calcule y anote las coordenadas (valores de X1 y X2) para cada punto vértice.

  2. Observe la dirección de las desigualdades para definir, individualmente, el conjunto de puntos de solución factible de cada una de las restricciones y posteriormente, combinando todas ellas, por intersección o traslape, definir y señalar el conjunto de puntos de solución factible para todo el sistema de restricciones del problema.

  3. Con un valor arbitrario para la función Z, calcule las coordenadas de un punto perteneciente a cada uno de los dos ejes cartesianos, dando alternativamente el valor de cero a X1 y X2 de la función objetivo Z, ahora se traza una recta que pase por dichos puntos en los ejes, la cual muestra todos los valores posibles de X1 y X2 de la misma.

  4. Mueva la recta de la función objetivo Z paralelamente hacia valores mayores de la función, si el problema es de máximo, o bien, hacia valores menores, si el problema es de mínimo, hasta que coincida con un punto vértice, antes de salir de la región factible. La recta de la función objetivo se cuantifica con los valores ( X1, X2 ) al coincidir con el vértice; su valor crecerá o bien decrecerá conforme a su traslado paralelo, según sean los signos de sus términos.

  5. Cualquier punto vértice que sea solución factible para el sistema de restricciones que coincida con la recta de la función objetivo que resulte con el valor mayor para un máximo o bien con el menor para un mínimo, según el caso, es una solución óptima.

Variables de Holgura

Además de la solución óptima y de su contribución a la utilidad asociada, la administración de QUIMCAR desea tener información de uso de las tres materias primas. Se puede obtener esta información reemplazando los valores óptimos de las variables (X1=25, X2=20) en las restricciones del programa lineal.

Figura 1-29. Material consumido: solución óptima cera y pasta, ejemplo QUIMCAR.

La solución completa le indica a la administración que la producción de 25 toneladas de cera automotriz y de 20 toneladas de pasta pulidora requiere toda la materia prima disponible 1 y 3, pero solamente cuatro de las cinco toneladas de la materia prima 2. La tonelada de la materia prima 2 no utilizada se conoce como holgura. En terminología de programación lineal, cualquier capacidad sin utilizar y ociosa para una restricción igual o menor (<=) se llama holgura asociada con la restricción, por lo que la restricción del recurso 2 tiene una holgura de una tonelada.

A menudo se agregan variables, conocidas como variables de holgura Hi, o bien Xi, (según la notación preferida) a la formulación de un problema de programación lineal para representar la capacidad ociosa. La capacidad sin utilizar no hace ninguna contribución a la utilidad, por lo que las variables de holgura que se incluyan en la función objetivo deben tener coeficientes iguales a cero. En general, las variables de holgura representan la diferencia entre los lados derecho e izquierdo de una restricción de tipo <=.

Una vez agregadas las variables de holgura a la representación matemática correspondiente al problema QUIMCAR el modelo matemático se convierte en:

Cuando todas las restricciones de un problema lineal se expresan en forma de igualdades, se dice que el modelo matemático está en forma estándar. En el problema QUIMCAR se observa que en la solución óptima (X1=25, X2 =20), el valor de las variables de holgura es:

Figura 1-30. Holguras de materia prima en ejemplo QUIMCAR.

Figura 1-31. Concepto físico de la holgura H2 en ejemplo QUIMCAR.

También se puede utilizar el análisis gráfico para obtener la información de las holguras. Observe que al determinar la solución óptima de la Figura 1-26, el punto vértice que es intersección de la materia prima 1 y de la 3, restringen o limitan la región factible hasta ese punto vértice, por lo que la solución óptima requiere usar la totalidad de estos dos recursos. En otras palabras, la gráfica en Figura 1-23 muestra que en la solución óptima, la línea recta de restricción de la materia prima 2 no limita la región factible en ese punto vértice, por lo que se puede esperar algún sobrante (holgura) de este recurso.

Cuando en un gráfico se tienen rectas de restricción que sólo tocan un vértice del conjunto factible o bien ningún punto del mismo, se identifican como restricciones redundantes (sobrantes). En problemas con más de dos variables de decisión, se tienen métodos analíticos para detectar la redundancia.

En tal caso, la región factible se conserva igual, independientemente de que se incluya o no una restricción redundante del problema, por lo tanto se pueden eliminar sin que tengan ningún efecto sobre la solución óptima. Sin embargo, en la mayor parte de los problemas de programación lineal, las restricciones redundantes no se descartan porque no son reconocibles de inmediato como tales. El problema QUIMCAR no tiene restricciones redundantes pues todas las restricciones forman la frontera de la región factible.

Observaciones y comentarios

  1. En la forma estándar de un programa lineal, los coeficientes para las variables de holgura son cero en la función objetivo, por lo tanto, las variables de holgura que representan recursos sin utilizar, no afectan el valor de la función y se pueden omitir. Pero en algunas aplicaciones, algunos o todos los recursos no utilizados pueden venderse para recuperar valores y contribuir a la utilidad. En estos casos las variables de holgura correspondientes se convierten en variables de decisión que representan el total de recursos a vender. Para cada una de estas variables, un coeficiente distinto de cero en la función objetivo reflejará la utilidad asociada con la venta de una unidad del recurso correspondiente.

  2. Las restricciones redundantes no afectan la región factible; como consecuencia, pueden eliminarse de un modelo de programación lineal sin afectar la solución óptima. Sin embargo, si posteriormente se debe resolver el modelo de programación lineal con algunos cambios en los datos, una restricción previamente redundante se podría convertir en un recurso limitante, por lo que se sugiere conservar todas las restricciones del modelo de programación lineal, aun cuando se espere que una o más de ellas sean redundantes.

Puntos extremos y solución óptima

Suponga que la contribución a la utilidad de una tonelada de pasta pulidora se incrementa de 300 a 600 dólares, en tanto que la contribución a la utilidad de una tonelada de cera automotriz y todas las demás restricciones se mantienen sin modificación. La función objetivo se convierte en:

¿Cómo afecta este cambio de la función objetivo a la solución óptima del problema de QUIMCAR?. La Figura 1-32 muestra la solución gráfica del problema, utilizando la función objetivo modificada. Observe que las restricciones no tienen cambio, entonces la región factible es la misma; pero se han alterado las líneas rectas de utilidad para reflejar la nueva función objetivo.

Como se observa en la Figura 1-32, al mover la línea recta de utilidad de manera paralela, alejándola del origen, se encuentra la solución óptima. Los valores de las variables de decisión en este punto son X1=18.75 y X2 = 25. El aumento en la utilidad de la pasta pulidora ha creado un cambio en la solución óptima. De hecho, como quizás ya lo previó, se reduce la producción de la cera y aumenta la de pasta pulidora, porque ahora tiene una utilidad mayor.

Respecto de las soluciones gráficas de la Figura 1-26 y Figura 1-32 se debe hacer una observación importante: la solución óptima ocurre en alguno de los vértices o intersecciones de la región factible. En terminología de programación lineal, estos vértices se conocen como puntos extremos de la región factible, por lo que para este problema se tienen cinco vértices, es decir, cinco puntos extremos (Figura 1-32). Ahora se puede dar la observación siguiente sobre la localización de las soluciones óptimas.

Figura 1-32. Cambia óptimo: objetivo máximo Z = 400X1 + 600 X2, ejemplo QUIMCAR

Si existe la solución óptima de un problema de programación lineal, se puede encontrar en un punto extremo de la región factible del problema.

Esta propiedad significa que, si busca la solución óptima de un problema de programación lineal, debe limitarse a evaluar y comparar los puntos de solución correspondientes a los vértices de la región factible.

OTROS EJEMPLOS DE MÉTODO GRÁFICO: Se presentan algunos problemas resueltos con gráfica para ampliar la oportunidad de adquirir este conocimiento:

Ejemplo 1-13. Método gráfico, PL en máximo con restricciones <= (MAXCAN1) [HIL67].

El gráfico en la Figura 1-33 muestra el conjunto de soluciones factibles, coordenadas y notas importantes de vértices, con valores de Z para los mismos; además, se presentan coordenadas en tabla de todo el sistema, el que se amplía debido a las holguras que se suman a cada una de las restricciones.

Figura 1-33. Solución gráfica del ejemplo MAXCAN1.

Anote que se evalúan sólo los vértices factibles y que las rectas correspondientes a las restricciones (1) y (2) son paralelas al eje X2 y al eje X1, respectivamente, por lo que no hacen intersección con ellos, es decir, no forman vértice. En el punto vértice C se localiza el valor máximo buscado para la función Z. En la Figura 1-34 se muestra el conjunto de puntos que son factibles para cada una de las tres restricciones y el primer cuadrante; la intersección de todos ellos resulta en la región factible de la Figura 1-33.

Figura 1-34. Regiones factibles en cada restricción del ejemplo MAXCAN1.

Para valorar los puntos vértices del conjunto factible se sustituyen los valores correspondientes ( X1, X2 ) en la ecuación Z:

Figura 1-35. Concepto físico de holgura en restricción 3 del ejemplo MAXCAN1.

Espacio ampliado al sumar holguras.- En la siguiente tabla se muestran los vértices dados en el gráfico del Ejemplo 1-13, MAXCAN1. Estos se generan como solución básica, pues se conjuntan 5 variables (2 de decisión mas 3 holguras) del modelo en forma estándar. Se anota (X1, X2) conocidas en la solución gráfica y sustituyendo éstas en la misma forma, se valoran H1, H2, H3, obteniendo la solución básica respectiva.

Figura 1-36. Espacio ampliado a 5 dimensiones, en ejemplo MAXCAN1.

Solución básica: Se tiene con, al menos, (m + n ) - m = n variables iguales a cero.

En donde: m = # de restricciones; n = # de variables originales o de decisión.

Para el ejemplo: m = 3; n = 2; entonces: ( m + n ) - m = ( 3 + 2 ) - 3 = 2 variables nulas.

En la tabla, cada renglón es una solución básica, pues 2 de las 5 variables son cero.

Un vértice o punto extremo único es el cruce de sólo 2 líneas, como es en este ejemplo.

Una solución básica factible en vértice único, se denomina no degenerada. Observe que las variables nulas pertenecen a las rectas que tocan el vértice. Número máximo de soluciones básicas únicas.- Estima el tiempo para la computadora.

En este ejemplo se ven 8 vértices y 2 que no existen por paralelismo entre rectas.

Conjunto convexo.- Un conjunto es convexo si dados dos puntos A, B, cualesquiera del mismo, el segmento de recta que los une, se incluye totalmente en dicho conjunto. La expresión matemática, de todos los puntos P obtenidos por combinación convexa entre dos puntos A y B del mismo es:

Figura 1-37. Ejemplos de conjunto convexo.

Figura 1-38. Ejemplos de conjunto no convexo.

Ejemplo 1-14. Método gráfico, PL en mínimo con restricciones >= (MINCAN1).

Figura 1-39. Gráfica del ejemplo MINCAN1, resulta un conjunto factible abierto.

Figura 1-40. Regiones factibles del ejemplo MINCAN1.

Observe el valor de la función objetivo, es mínimo en el vértice C(2,4) con Zc = 14.

El conjunto de soluciones factibles de la Figura 1-39 de este problema, es no acotado, se obtiene sobreponiendo las regiones factibles de las tres restricciones del modelo y la región factible del primer cuadrante, mostradas en la Figura 1-40

Un vértice formado con mas de dos líneas rectas, se califica como solución no única, como son los vértices O y C que se pueden formar con tres combinaciones de intersección según se muestra en el gráfico de la Figura 1-39 para tales puntos. En particular, el vértice C se denomina como solución degenerada pues es factible y no único. El origen O, se califica como no factible, al igual que la infinidad de puntos restantes (sean vértices o no), que no pertenecen al conjunto factible, sombreado entre las rectas (1), (2) y eje X1.

Un punto vértice de solución degenerada en la analogía geométrica bidimensional se tiene con una recta restricción redundante en ese punto, pero tal recta no forma el conjunto factible.

La forma estándar requiere que todas las restricciones sean de igualdad, pero cuando el modelo en estudio tiene restricciones de tipo >=, se usa una holgura negativa Si llamada variable de superávit, la cual debe restarse a cada una de esas restricciones como sigue:

Figura 1-41. Concepto físico de superavit en restricción 1, ejemplo MINCAN1.

De esta manera, el espacio de dos dimensiones de la Figura 1-39 y Figura 1-40, se amplía a un espacio de 5 dimensiones que no se puede dibujar, pero si tratar analíticamente.

La tabla de la Figura 1-42 muestra las coordenadas o valor para cada una de las variables en el problema Ejemplo 1-14, MINCAN1, ampliado a 5 dimensiones (2 variables de decisión más 3 variables superávit), al pasar a forma estándar; se conservan los valores (X1, X2) obtenidos en la solución gráfica de la Figura 1-39 y se sustituyen en la forma estándar para calcular el valor de S1, S2, S3, variables restadas en el lado izquierdo de las restricciones. En la tabla, cada renglón se identifica con cada vértice de la Figura 1-39, pero debido a la ampliación del espacio, se convierten en solución básica pues tienen, por lo menos: n = (m + n) - m = (3 + 2) - 3 = 2 variables de valor cero. Pero los puntos extremos O y C, tienen mas de 2 variables nulas, en este caso con 3 variables cero, se identifican como soluciones básicas no únicas y en particular C es una solución básica degenerada.

Supóngase ahora que la función objetivo Z se cambia para máximo, en tal caso el traslado hacia fuera del cuadrante, de la línea recta correspondiente a la función Z, con el propósito de incrementar el valor de las variables X1 y X2, resulta en un incremento indefinido para el valor de dicha función y por lo tanto sin límite.

Sustituyendo (X1, X2) de los dos vértices de la región factible se obtiene el óptimo como mínimo ZC = 14:

Figura 1-42. Sistema ampliado a 5 dimensiones en ejemplo MINCAN1.

Ejemplo 1-15. Método gráfico, PL en máximo y mínimo, restricciones <= y >= (MAXMIN1).

Este nuevo ejemplo inicia una serie de variantes a partir del Ejemplo 1-14, se estima que el estudiante fija mas conocimiento cuando tiene oportunidad de comparar los efectos de los cambios en el mismo problema, se pretende responder a: ¿qué pasaría sí.....?

Como se puede ver en la Figura 1-44, el efecto inmediato del cambio es que ahora se tiene un conjunto factible acotado, que permite calcular para la función Z el máximo y también el mínimo. Se anota información relevante, ya explicada en anteriores ejemplos y se sugiere al lector estudioso comprobar lo aprendido hasta ahora, con el ejercicio de graficar, cada una de las restricciones y luego definir el conjunto de soluciones factibles para todo el sistema de este problema. Verifique la Figura 1-43.

Figura 1-43. Factibilidad de restricciones en ejemplo MAXMIN1.

Observe que los puntos vértices (extremos) son la intersección de por lo menos dos líneas rectas, en tal caso se dice que son únicos; pero los puntos O y C se forman con tres líneas rectas, calificándolos como vértices no únicos, pues se puede generar la misma intersección de las tres maneras en que se anota en la Figura 1-44. Para este ejemplo, el punto extremo C, además de no único, es factible y por lo tanto solución degenerada. El vértice origen O, queda en la categoría de no factible, como es cualesquier punto no incluido en la zona sombreada. A propósito de ella revise, si así lo desea, la definición de conjunto convexo y verifique que las regiones factibles correspondientes a los problemas gráficos de ejemplo, cumplen para tal calificación.

Figura 1-44. Solución gráfica del ejemplo MAXMIN1, resulta una región factible acotada al invertir la restricción (1) a <=.

# Máximo de soluciones básicas únicas: m =3 restricciones; n = 2 variables originales

Ejemplo 1-16. Método gráfico con PL en máximo y mínimo, una restricción en = (FACTIRECTA).

Así el conjunto factible resulta en un sólo segmento de recta BC. Se sugiere como ejercicio, graficar individualmente las restricciones y verificar su conjunto factible con la Figura 1-45.

Figura 1-45. Gráfica del modelo ejemplo FACTIRECTA, variante del MAXMIN1, con el segmento de recta BC como conjunto de soluciones factibles.

Restricción redundante: Para este problema, puede ser tanto la número uno, como la número dos, según la que se utilice primero para definir el vértice "C". En caso de que requiera mayor exposición, a continuación se presenta en la Figura 1-46 el conjunto factible correspondiente a cada restricción del Ejemplo 1-16; anote en particular, el gráfico de la (3) que es de igualdad, provoca que el conjunto factible sea un sólo segmento de recta BC.

Figura 1-46. Región factible para cada restricción del ejemplo FACTIRECTA.

Ejemplo 1-17. Método gráfico, PL en máximo y mínimo, la variable X2 no positiva. (MINMAXCU).

Figura 1-47. Solución gráfica del modelo ejemplo MINMAXCU, muestra un conjunto factible que se ubica en el cuarto cuadrante debido a que la variable X2 se condiciona a valor no positivo.

Esta nueva variante elegida como Ejemplo 1-17 tiene algo especial, como es condicionar a signo no positivo a la variable X2, con el resultado gráfico que quizá, ya esperaba usted.

La aceptación de la posibilidad de valor negativo para X2, obliga al cálculo que incluye las dos alternativas: con signo menos y con cero, para X2; así se consigue situar el dibujo con los vértices necesarios para el trazo, definición del conjunto factible y la evaluación de la función objetivo en el cuarto cuadrante del sistema bidimensional.

Como puede observar en la Figura 1-47, el conjunto de soluciones factibles del ejemplo 1.17 se define en el cuarto cuadrante con el triángulo cuyos vértices son O B C.

En la Figura 1-48 se presenta la región factible que le corresponde a cada una de las restricciones del ejemplo MINMAXCU para verificar sus resultados gráficos:

Figura 1-48. Región factible de restricciones del ejemplo MINMAXCU.

Programa CAVA .- El lector que así lo desee puede consultar en el programa CaVa (próximo a liberarse) las soluciones (ya sea analítica o bien gráfica), de algunos de los problemas ejemplo del libro. Puede encontrar, como ejemplos de formulación de modelos de PL, los números: 1.4 Bediet, 1.7 de distribución de carga en barco, 1.9 de desperdicio en proceso de corte. Como ejemplos de método gráfico los números 1.31 al 1.43.