Definición de un problema de programación lineal (PL)
 

La programación lineal es uno de los instrumentos matemáticos usados en la resolución de los modelos, y es aplicable a un vasto campo de problemas en los negocios y en la industria. El denominador común que determina si la programación lineal puede ayudar a tomar una decisión correcta es la presencia de varias alternativas entre las que el ejecutivo debe elegir, y además la presencia de algunos factores limitativos (la maquinaría y el equipo de la planta, el material disponible, mano de obra, otros) que le impiden elegir todas las alternativas simultáneamente. Los requerimientos de una decisión que debe seleccionarse entre varías alternativas, ligadas a la presencia de factores limitativos, son comunes a muchos problemas industriales y explican el uso creciente de la programación lineal, como una técnica para resolverlos.

La programación lineal puede definirse como la técnica matemática para determinar la mejor asignación de los recursos limitados de la empresa. La programación lineal usa un modelo matemático para representar el problema que se estudia. La palabra lineal se refiere a la forma de expresiones matemáticas(ecuaciones de primer grado) del modelo. Programación no se refiere a la programación en computadora: más bien es, en esencia, un sinónimo de planear. Así, la programación lineal significa planeación de actividades representada por un modelo matemático lineal.

Un matemático podría ser más técnico al definirla, y diría que es un método de solución de problemas en el que una función objetivo debe maximizarse o minimizarse cuando se consideran ciertas restricciones. Un economista podría definir la programación lineal como un método para la asignación de recursos limitados en tal forma que se satisfagan las leyes de la oferta y la demanda de los productos de la empresa. Un hombre de negocios consideraría los métodos de la programación lineal como uno de los instrumentos de la administración para buscar las soluciones de los problemas de acuerdo con los objetivos claramente definidos de la empresa. Independientemente de la forma en que definamos la programación lineal se necesitan cinco requerimientos básicos antes de que esta técnica pueda emplearse en la solución de los problemas de negocios.

1.Hay que expresar un objetivo bien definido, que pueda servir para maximizar la contribución unitaria, utilizando los recursos disponibles, o bien puede producir el costo más bajo posible usando una cantidad limitada de factores productivos. Por lo tanto el primer requerimiento es que se defina claramente una función objetivo en forma matemática  
2.Segundo, debe haber otros recursos alternativos de acción. En un problema de programación lineal, debe ser posible escoger una solución que satisfaga la función objetivo.  
3.Otro requerimiento es que las ecuaciones y desigualdades deben describir el problema en forma lineal. En la programación lineal, la linealidad es un término matemático que se usa para la descripción de sistemas de ecuaciones simultáneas de primer grado, que satisfagan tanto la función objetivo como las restricciones. Las restricciones (o limitaciones), se expresan matemáticamente con ecuaciones o desigualdades. Esencialmente, el tercer requerimiento exige que los objetivos de la empresa y sus restricciones se expresen como ecuaciones o desigualdades lineales.  
4.Otra condición necesaria es que sea posible establecer relaciones entre las variables a través de formulaciones matemáticas que puedan describir el problema y todas las relaciones entre las variables. Para expresarlo de otro modo, el cuarto requerimiento consiste en que, las variables del problema deben interrelacionarse.  
5.La quinta condición consiste en que haya un suministro limitado de recursos.  
 
Por lo que la programación lineal proporciona un método sistemático para evaluar cada solución particular hasta alcanzar la óptima, es decir, la programación lineal trata de problemas de asignación óptima de recursos limitados entre actividades competitivas. Las Condiciones esenciales para un problema de programación lineal son:

1.Se tienen necesidades que satisfacen con cierto número de recursos.  
2.La cantidad de recursos es limitado como para satisfacer plenamente las necesidades.  
3.Se tiene el objetivo de optimizar el uso de recursos minimizando el medio de efectividad (costos, utilidad, otro)  

En conclusión
El problema general de programación lineal consiste en la búsqueda del optimo (mínimo o máximo de una función lineal de n variables xi (i= 1,2,……..n) ligadas por las relaciones (ecuaciones) lineales llamadas consideraciones ó restricciones). Dicho de otra manera es un medio matemático que permite asignar una cantidad fija de recursos a la satisfacción de varias demandas en tal forma que mientras se optimiza algún objetivo se satisfacen otras condiciones definidas, matemáticamente el problema de programación lineal se representa así (ver figura 1.3):


fig1_3
figura 1.3
Forma general de representar un problema de programación lineal (PL)

Donde:
Z = función que debe maximizarse ó minimizarse
x
j = j-ésima variable de decisión
c
j = coeficiente de ganancia (ó costo) de la j-ésima variable (vector de utilidades o costos)
a
ij = coeficiente de la j-ésima variable en la i-ésima restricción (Matriz de coeficientes tecnológicos)
b
i = limitación de la capacidad de la i-ésima restricción (Vector de disponibilidad de recursos)


El problema de PL puede expresarse en una forma más condensada haciendo uso de sumatorias (ver figura 1.3):

fig1_4
figura 1.3
forma más condensada

Suposiciones o características de la programación lineal (PL).

Las suposiciones o características de la programación lineal están implícitas en la formulación de cualquier modelo matemático, sin embargo, vale la pena hacer hincapié en ellas para que sea más sencillo evaluar si esta técnica es adecuada para un problema dado:

Proporcionalidad.-
. La proporcionalidad es una suposición sobre la función objetivo y sobre las restricciones, como se resume a continuación:

Suposición de proporcionalidad: La contribución de cada actividad al valor de la función objetivo Z es proporcional al nivel de actividad Xj, como lo representa el término CjXj en la función objetivo. De manera similar, la contribución de cada actividad al lado izquierdo de cada restricción es proporcional al nivel de actividad Xj, en la forma en que lo representa el término AijXj en la restricción, por ejemplo: si se necesitan 2 horas-hombre y 10 unidades de materia prima para hacer un escritorio, se requerirán 20 horas-hombre y 100 unidades de materia prima para 10 escritorios, o sea, la medida de efectividad y el recurso usado debe ser proporcional al nivel de cada actividad tomada individualmente.  

Aditividad
.- Esta suposición garantiza que el costo o utilidad total es la suma de los costos o utilidades individuales sobre la función objetivo y sobre las restricciones, que la contribución total a la j-ésima restricción es la suma de las contribuciones individuales de cada actividad, como se resume a continuación:

Suposición de aditividad: La medida total de efectividad y cada recurso total empleado resultante del desarrollo conjunto de las actividades debe ser igual a la suma respectiva de estas cantidades resultantes de cada actividad considerada individualmente, o sea cada actividad es independiente y puede precisar la cantidad de recursos necesarios en cada nivel de las distintas actividades, ejemplo: si una máquina requiere 2 y 3 horas para hacer los productos 1 y 2 respectivamente para producir los productos 1 y 2 requerirá 5 horas.  

Divisibilidad
.- La siguiente suposición se refiere a los valores permitidos para las variables de decisión:
Suposición de divisibilidad: Las variables de decisión en un modelo de programación lineal pueden tomar cualquier valor, incluyendo valores no enteros, que satisfagan las restricciones y las condiciones de no negatividad. Así, estas variables no están restringidas a sólo valores enteros. Como cada variable de decisión representa el nivel de alguna actividad, se supondrá que las actividades se pueden realizar a niveles fraccionales.  

Certidumbre
.- La última suposición se refiere a los parámetros del modelo, es decir, a los coeficientes Cj en la función objetivo, los coeficientes Aij en las restricciones y los coeficientes bi en el lado derecho de las restricciones.

Suposición de certidumbre: Se supone que los valores asignados a cada parámetro de un modelo de programación lineal son constantes conocidas.  


Como ya se dijo anteriormente, el modelo matemático intenta ser sólo una representación idealizada del problema real. Por lo general se requieren aproximaciones y las suposiciones para que el problema se pueda manejar. El
análisis de sensibilidad
compensa, de alguna manera, cuando las suposiciones no se llegan a cumplir cabalmente.

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